Por qué los botes grandes se reparten más: qué muestran los datos

Bote grande probabilidad compartido: cómo las ventas de boletos influyen en el riesgo de dividir el premio, con un cálculo sencillo de Poisson.

El 13 de enero de 2016, el bote de Powerball de 1.586 millones de dólares no tuvo un ganador, sino tres: un boleto vendido en California, otro en Florida y otro en Tennessee. Cuanto más crece un bote, más boletos se venden y mayor es la probabilidad de compartir el premio gordo. Esta es la relación que hay detrás de bote grande probabilidad compartido, con los datos y el cálculo.

Una precisión desde el principio: nada de esto cambia la probabilidad de ganar, que es la misma para todas las combinaciones. Solo describe lo que ocurre si una combinación gana: cobras el bote en solitario o con otros ganadores.

Cuanto más grande es el bote, más boletos se compran

Los datos de los operadores estadounidenses muestran un vínculo claro entre el importe anunciado y las ventas. Según las ventas históricas de Powerball publicadas por lottoreport.com a partir de datos de la Multi-State Lottery Association, las ventas semanales son entre 2 y 3 veces más altas con un bote de unos 600 millones de dólares que con el bote mínimo de 20 millones.

Los trabajos académicos apuntan en la misma dirección:

• en el Powerball de 2015 a 2022, los modelos de regresión polinómica que relacionan bote y ventas muestran un R² de 0,89 a 0,90, lo que significa que el importe del bote explica buena parte de la variación de las ventas (análisis universitarios de los datos de Powerball);
• en el Euromillones entre 2004 y 2008, la correlación entre bote y ventas es de 0,89 (estudio que compara nueve países);
• en los modelos econométricos sobre nueve países europeos, un bote menor equivale a un precio efectivo del boleto más alto: cada subida del 1 % de ese precio reduce las ventas entre un 0,6 y un 0,9 %.

Un límite: para el Euromillones no existe una fuente oficial única que reúna las ventas sorteo a sorteo de los nueve países participantes. Los modelos se basan en datos de 2004 a 2008, que ya son antiguos.

El cálculo: ¿cuántos ganadores cabe esperar?

Imagina que cada combinación se elige al azar y con independencia de las demás. El número de ganadores sigue entonces, de forma aproximada, una distribución de Poisson: el modelo clásico para contar sucesos raros e independientes.

Definamos:

• N: el número de boletos vendidos para el sorteo;
• p: la probabilidad de que un boleto gane, que es de 1 entre 292,2 millones en Powerball desde octubre de 2015;
• m = N × p: el número medio de ganadores esperados.

El cálculo da:

• probabilidad de que no haya ningún ganador: P(0) = e^(−m);
• probabilidad de exactamente un ganador: P(1) = m × e^(−m);
• probabilidad de al menos dos ganadores: P(≥2) = 1 − (1 + m) × e^(−m).

Esto es lo que resulta con cuatro volúmenes de ventas ficticios, redondeados para que m tome valores sencillos (m = N ÷ 292,2 millones; e ≈ 2,718):

• 73 millones de boletos: m = 0,25. P(≥2) = 1 − 1,25 × 0,7788 ≈ 2,6 %.
• 146 millones de boletos: m = 0,5. P(≥2) = 1 − 1,5 × 0,6065 ≈ 9,0 %.
• 292 millones de boletos: m = 1. P(≥2) = 1 − 2 × 0,3679 ≈ 26,4 %.
• 584 millones de boletos: m = 2. P(≥2) = 1 − 3 × 0,1353 ≈ 59,4 %.

Duplicar las ventas no duplica el riesgo de compartir: sube más deprisa al principio y luego se frena al acercarse al 100 %. Incluso con m = 2, un sorteo tiene una probabilidad del 13,5 % (e^(−2)) de quedarse sin ningún ganador.

La pregunta que importa a un jugador

Para un jugador, la pregunta práctica es: «si mi combinación gana, ¿qué probabilidad hay de que gane también otra?». Los demás boletos siguen la misma distribución, así que esa probabilidad vale 1 − e^(−m):

• m = 0,25: alrededor del 22 %;
• m = 0,5: alrededor del 39 %;
• m = 1: alrededor del 63 %;
• m = 2: alrededor del 86 %.

Eso es «compartir»: el premio gordo se divide entre las combinaciones ganadoras. Con ventas altas, la parte de cada uno se reduce, aunque el importe anunciado sea elevado.

Lo que el modelo no dice

El modelo supone combinaciones elegidas al azar. En la realidad, los jugadores no eligen al azar: las fechas de cumpleaños, por ejemplo, concentran combinaciones (distribución de las elecciones de números). Para una combinación muy popular, el riesgo de compartir es mayor que el que da la fórmula; para una combinación poco jugada, es menor. Es justo lo que mide Wisenum.

Tres botes, tres desenlaces

Los casos reales ilustran las leyes de la probabilidad sin demostrarlas: un modelo da un riesgo, no una certeza.

• 13 de enero de 2016, Powerball: 1.586 millones de dólares, tres ganadores. Boletos vendidos en California, Florida y Tennessee. La parte de cada uno fue de unos 528,8 millones de dólares en anualidades, o de 327,8 millones de dólares en pago único (fuente). Este bote llegó tras el cambio de reglas de octubre de 2015, que fijó la probabilidad de ganar en 1 entre 292,2 millones.
• 23 de octubre de 2018, Mega Millions: 1.537 millones de dólares, un único ganador. Un boleto anónimo, vendido en Simpsonville (Carolina del Sur) (Mega Millions). Un bote gigante no siempre se comparte.
• 6 de septiembre de 2025, Powerball: 1.787 millones de dólares, dos ganadores. Dos boletos, vendidos en Misuri y Texas, que suponen unos 410,3 millones de dólares en pago único antes de impuestos para cada uno (himillions.com).

De estos tres casos, dos botes se compartieron y solo uno fue a parar a un único ganador. Tres ejemplos no prueban nada desde el punto de vista estadístico: muestran que, cuando las ventas suben, los dos desenlaces siguen siendo posibles. Como el detalle de las ventas de cada sorteo no figura en nuestras fuentes, no calculamos su m exacto.

En resumen

Un bote más alto atrae más boletos, y el número medio de ganadores esperados (m = N × p) crece con las ventas. La probabilidad de compartir, 1 − e^(−m) para una combinación ganadora, sube por tanto con el tamaño del bote, sin llegar a ser nunca segura.

Esto no cambia la probabilidad de ganar, que es la misma para todas las combinaciones (por ejemplo, 1 entre 139.838.160 en el Euromillones, cálculo detallado aquí). Lo único que varía es el riesgo de tener que compartir el premio si sale tu combinación: depende del número de jugadores y de lo popular que sea la combinación que elijas.

Comprueba dónde se sitúa tu combinación entre las elecciones más habituales: Analizar una combinación

Jugar debe seguir siendo un entretenimiento. Juega solo lo que puedas permitirte perder. Para un juego responsable, encontrarás información y ayuda en la Dirección General de Ordenación del Juego (ordenacionjuego.es).

Cada combinación válida tiene la misma probabilidad de salir. Wisenum no predice números ganadores.