Gros jackpot : pourquoi la probabilité de le partager augmente

Plus le jackpot grossit, plus les gens jouent. Découvrez la relation scientifique entre la taille du jackpot et la probabilité d'avoir plusieurs gagnants.

Le 13 janvier 2016, le jackpot Powerball de 1,586 milliard de dollars n'a pas fait un gagnant, mais trois : un ticket vendu en Californie, un en Floride, un au Tennessee. Plus un jackpot grossit, plus le nombre de tickets vendus augmente, et plus la probabilité de partager le gros lot s'élève. Voici la relation entre jackpot et partage, avec les données et le calcul.

Une précision d'emblée : ce raisonnement ne change rien à la probabilité de gagner. Elle reste la même pour toutes les grilles. Il décrit seulement ce qui se passe si la grille gagne : on touche le jackpot seul, ou à plusieurs.

Plus le jackpot est gros, plus on achète de tickets

Les données des opérateurs américains montrent un lien net entre le montant annoncé et les ventes. D'après les ventes historiques du Powerball publiées par lottoreport.com à partir des données de la Multi-State Lottery Association, les ventes hebdomadaires sont de l'ordre de 2 à 3 fois plus élevées autour de 600 millions de dollars qu'au jackpot minimal de 20 millions.

Les travaux universitaires vont dans le même sens :

• sur le Powerball de 2015 à 2022, des modèles de régression polynomiale reliant jackpot et ventes affichent un R² de 0,89 à 0,90, ce qui signifie que le montant du jackpot explique une grande part des variations de ventes (analyses universitaires des données du Powerball) ;
• sur l'EuroMillions entre 2004 et 2008, la corrélation entre jackpot et ventes est de 0,89 (étude comparant neuf pays) ;
• dans les modèles économétriques portant sur neuf pays européens, un jackpot plus faible revient à un prix effectif du ticket plus élevé : chaque hausse de 1 % de ce prix réduit les ventes de 0,6 à 0,9 %.

Une limite : pour l'EuroMillions, il n'existe pas de source officielle unique regroupant les ventes tirage par tirage des neuf pays participants. Les modèles reposent sur des données de 2004 à 2008, désormais anciennes.

Le calcul : combien de gagnants attendre ?

Imaginons que chaque grille soit choisie au hasard et indépendamment des autres. Le nombre de gagnants suit alors, de façon approchée, une loi de Poisson : c'est le modèle classique pour compter des événements rares et indépendants.

Posons :

• N : le nombre de tickets vendus pour le tirage ;
• p : la probabilité qu'un ticket gagne, soit 1 sur 292,2 millions au Powerball depuis octobre 2015 ;
• m = N × p : le nombre moyen de gagnants attendus.

Le calcul donne :

• probabilité qu'il n'y ait aucun gagnant : P(0) = e^(−m) ;
• probabilité d'exactement un gagnant : P(1) = m × e^(−m) ;
• probabilité d'au moins deux gagnants : P(≥2) = 1 − (1 + m) × e^(−m).

Voici ce que cela donne avec quatre volumes de ventes fictifs, arrondis pour que m prenne des valeurs simples (m = N ÷ 292,2 millions ; e ≈ 2,718) :

• 73 millions de tickets : m = 0,25. P(≥2) = 1 − 1,25 × 0,7788 ≈ 2,6 %.
• 146 millions de tickets : m = 0,5. P(≥2) = 1 − 1,5 × 0,6065 ≈ 9,0 %.
• 292 millions de tickets : m = 1. P(≥2) = 1 − 2 × 0,3679 ≈ 26,4 %.
• 584 millions de tickets : m = 2. P(≥2) = 1 − 3 × 0,1353 ≈ 59,4 %.

Doubler les ventes ne double pas le risque de partage : il grimpe plus vite, puis ralentit quand il approche 100 %. Même à m = 2, un tirage a une probabilité de 13,5 % (e^(−2)) de n'avoir aucun gagnant.

La question qui compte pour un joueur

Pour un joueur, la question pratique est : « si ma grille gagne, quelle probabilité qu'une autre grille gagne aussi ? » Les autres tickets suivent la même loi, donc cette probabilité vaut 1 − e^(−m) :

• m = 0,25 : environ 22 % ;
• m = 0,5 : environ 39 % ;
• m = 1 : environ 63 % ;
• m = 2 : environ 86 %.

C'est cela, « partager » : le gros lot est divisé entre les grilles gagnantes. Avec des ventes fortes, la part de chacun se réduit, même si le montant annoncé est élevé.

Ce que le modèle ne dit pas

Le modèle suppose des grilles choisies au hasard. En réalité, les joueurs ne choisissent pas au hasard : les dates de naissance, par exemple, concentrent des grilles (distribution des choix de numéros). Pour une combinaison très populaire, le risque de partage est plus élevé que ce que donne la formule ; pour une combinaison peu jouée, il est plus faible. C'est précisément ce que mesure Wisenum.

Trois jackpots, trois issues

Les cas réels illustrent la loi des probabilités, sans la démontrer : un modèle donne un risque, pas une certitude.

• 13 janvier 2016, Powerball : 1,586 milliard de dollars, trois gagnants. Tickets vendus en Californie, en Floride et au Tennessee. La part de chacun : environ 528,8 millions de dollars en rente, ou 327,8 millions de dollars en paiement comptant (source). Ce jackpot est survenu après la modification de règles d'octobre 2015, qui a porté la probabilité de gagner à 1 sur 292,2 millions.
• 23 octobre 2018, Mega Millions : 1,537 milliard de dollars, un seul gagnant. Un ticket anonyme, vendu à Simpsonville (Caroline du Sud) (Mega Millions). Un jackpot géant n'est donc pas toujours partagé.
• 6 septembre 2025, Powerball : 1,787 milliard de dollars, deux gagnants. Deux tickets, vendus dans le Missouri et au Texas, soit environ 410,3 millions de dollars en paiement comptant avant impôts pour chacun (himillions.com).

Sur ces trois cas, deux jackpots se sont partagés et un seul est allé à un gagnant. Trois exemples ne prouvent rien statistiquement : ils montrent que, quand les ventes montent, les deux issues restent possibles. Le détail des ventes de chaque tirage n'étant pas dans nos sources, nous ne calculons pas leur m exact.

À retenir

Un jackpot plus élevé attire plus de tickets, et le nombre moyen de gagnants attendus (m = N × p) augmente avec les ventes. La probabilité de partager, 1 − e^(−m) pour une grille gagnante, grimpe donc avec la taille du jackpot, sans jamais le rendre certain.

Cela ne change pas la probabilité de gagner, identique pour toutes les grilles (par exemple 1 sur 139 838 160 à l'EuroMillions, calcul détaillé ici). Le seul élément qui varie, c'est le risque de devoir partager le gain si la grille sort : il dépend du nombre de joueurs, et de la popularité de la combinaison choisie.

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Chaque combinaison valide a la même probabilité d’être tirée. Wisenum ne prédit pas les numéros gagnants.